Modelo
matemático relacionado con la contaminación del agua.
En
la actualidad la contaminación del agua ha ido aumentando con el tiempo. Se
sabe que el agua es un recurso vital para nosotros y es por eso que debemos
cuidarla. A continuación se muestra un modelo matemático relacionado con este
gran problema:
Las alternativas
tecnológicas recomendadas para disminuir la contaminación en el agua, sus
costos y su eficiencia son:
1. Establecimiento de un
tanque sedimentado con una inversión inicial de $1.5 millones y costo de
operación de 300 $/tonelada que logra remover 95% de los sólidos suspendidos,
85% de las grasas y aceites y 15% de las sustancias activas y tóxicas.
2. Un tanque de lodos
biológicos que tiene un costo inicial de $7 millones y un costo de operación de
550 $/tonelada y con una eficiencia de remover 60% de los sólidos suspendidos,
90% de las grasas y aceites y 70% de las sustancias activas y tóxicas.
3. Un filtro de carbón
activado con una inversión inicial de $5 millones y un costo de operación de
890 $/tonelada, que remueve 3% de los sólidos en suspensión, 30% de las grasas
y aceites y 90% de las sustancias tóxicas y activas.
Las características descritas anteriormente se expresan en una
forma matricial que permite leer los datos con mayor facilidad (cuadros
1 y 2).
Un programa no lineal15 es
un modelo que consta de una función objetivo por minimizar (o maximizar) y las
condiciones que es necesario satisfacer, al menos algunas de ellas expresadas
mediante funciones no lineales; en este caso, el objetivo es minimizar el
costo, y las restricciones son las concentraciones de los contaminantes cuyos
límites establece el gobierno:
Minimizar el costo Sujeto a
• Restricción
gubernamental correspondiente a sólidos en suspensión.
• Restricción gubernamental
correspondiente a grasa y aceite.
• Restricción
gubernamental correspondiente a tóxicos.
Una región factible16 es
el conjunto de puntos que satisfacen las restricciones del modelo. Cualquier
punto (a, b, c) en la región factible que satisfaga que f(a, b, c) < f(x,
y, z) para cualquier otro punto (x, y, z), en la misma región, es una solución
óptima del problema correspondiente.
Si la función objetivo y las restricciones de un programa no
lineal son funciones convexas, cualquier punto que satisface las condiciones de
Kuhn–Tucker es una solución óptima.17
Una función es convexa en un conjunto si para cualquier par de
puntos x1, x2 en el conjunto se satisface que el
valor de la función en cualquier punto intermedio cx1 + (1 —
c)x2, (con c tal que está entre cero y uno, 0 < c < 1),
es menor que el valor intermedio correspondiente a los valores de la función:
Las condiciones de Kuhn–Tucker establecen que si un punto x* es
solución óptima de un problema de minimización con restricciones de la forma:
entonces existen tantos números reales λl , λ2,...λm como
restricciones y tantos μ1, μ2,..., μn como
variables, llamados multiplicadores, que satisfacen:
CONFIGURACIÓN DEL PROGRAMA
NO LINEAL DE LIMPIEZA DEL AGUA
Si entran 67.65 toneladas de residuos al tanque sedimentado = 59
sol. + 5.4 grasas + 3.25 tóxicos, salen, de acuerdo con los datos sobre su
eficiencia (Cuadro 2 segunda columna): 59(.05) + 5.4(.15) + 3.25(.85). Si se
repite el proceso, el nuevo resultado es: [59(.05)](.05) + [5.4(.15)](.15) +
[3.25(.85)](.85), es decir: 59(.05)2 + 5.4(.15)2 +
3.25(.85)2. Cuando se procesa n veces entonces se
obtiene: 59(.05)n + 5.4 (.15)n + 3.25(.85)n.
Para averiguar cuántas veces conviene repetir el proceso en el
tanque sedimentado, separando por contaminante y usando las restricciones
gubernamentales queda:
Si x1 representa el número de veces que es
necesario someter el agua contaminada al tratamiento en el tanque sedimentado,
x2 representa las veces que el agua contaminada se debe pasar
por el tanque de lodo y x3 son las veces que el agua se
requiere filtrar a través del carbón, entonces la función de costo se estima
igual a
Pero la cantidad inicial de contaminantes (que además se supone
invariable) es de 68 toneladas, por lo que la función objetivo queda expresada
como:
MODELO
DINÁMICO
La programación dinámica es
una técnica matemática útil en la toma de una serie de decisiones relacionadas. Proporciona un procedimiento sistemático para determinar la
combinación óptima de decisiones, y se basa en la partición de un problema
grande en varios pequeños que requieren una sola decisión cada uno, donde lo
importante es que la decisión en cada problema pequeño no sólo lo considera a
él, sino al conjunto de problemas pequeños ya resueltos antes de llegar a él.
Las características de los
problemas que pueden resolverse con esta técnica son:
• El problema se puede dividir en etapas que requieren una
política de decisión en cada una de ellas.
• Cada etapa tiene cierto número de estados asociados con su
inicio, son las condiciones posibles en las que se puede encontrar el sistema
en cada etapa.
• En cada etapa se toma una decisión que optimiza no sólo la
etapa, sino la parte ya analizada del problema.
• El efecto de la política de decisión en cada etapa es
transformar el estado actual en un estado asociado en la siguiente etapa.
Existe una función de transición que establece las reglas para esta
transformación.
• El procedimiento de solución está diseñado para encontrar una
política óptima para el problema completo, los resultados se van guardando en
los valores de una función recursiva.
Estos elementos en el problema
por resolver corresponden a:19
• Las etapas son los tratamientos a los que es necesario someter
el agua, tanque sedimentador (d), tanque de lodos (l), filtro de carbón (c), en
10 ocasiones.
• Los estados son la cantidad de contaminantes en el agua,
obtenidos a partir de la tabla de reducción de contaminantes: ci =
(si, ai, ti),20 uno en cada
etapa una vez tomada la decisión.
• Decisión p, en cada etapa se elige uno de los procesos: d =
tanque sedimentador, l = tanque lodo o c = filtro carbón.
• La ecuación de transición:
Estado en etapa i, con decisión p es ci = (si,
ai, ti) = ci = (si–1, ai–1,
ti–1) – (rp (s), (rp (a), (rp (t)
) 21
• Función recursiva, costo Ji(ci) = Minp {300,
550, 890} (ci) + Ji–1 (ci–1)22}
SOLUCIÓN
